Nepretržitý úrok

Zložený úrok je úrok vypočítaný z počiatočnej istiny a tiež z akumulovaného úroku z predchádzajúcich období vkladu alebo úveru. Účinok zloženého úroku závisí od frekvencie.

Predpokladajme ročnú úrokovú sadzbu 12%. Ak začneme rok 100 USD a zložíme ich iba raz, na konci roka dôjde k rastu istiny na 112 dolárov (100 dolárov x 1, 12 = 112 dolárov). Ak namiesto toho skombinujeme každý mesiac 1%, na konci roka skončíme s viac ako 112 dolármi. To znamená, že $ 100 x 1, 01 ^ 12 na 112, 68 dolárov. (Je to vyššie, pretože sme sa častejšie miešali.)

Nepretržité zloženie vracia zlúčeninu najčastejšie zo všetkých. Priebežné zloženie je matematický limit, ktorý môže dosiahnuť zložený úrok. Je to extrémny prípad zvyšovania, pretože najväčší záujem sa spája mesačne, štvrťročne alebo polročne.

Polročné miery návratnosti

Najprv sa pozrime na potenciálne mätúci dohovor. Na dlhopisovom trhu máme na mysli výnos ekvivalentný dlhopisom (alebo ekvivalent ekvivalentný dlhopisom). To znamená, že ak dlhopis prinesie 6% na polročnom základe, jeho výnos ekvivalentný dlhopisu je 12%.

Obrázok Julie Bang © Investopedia 2019

Polročný výnos sa jednoducho zdvojnásobí. Toto je potenciálne mätúce, pretože efektívny výťažok 12% -nej výnosovej väzby-ekvivalentnej väzby je 12, 36% (tj 1, 06 ^ 2 = 1, 1236). Zdvojnásobenie polročného výnosu je iba konvenciou pomenovania dlhopisov. Preto, ak čítame o 8% dlhopise zloženom polročne, predpokladáme, že sa to týka 4% polročného výnosu.

Štvrťročné, mesačné a denné sadzby návratnosti

Teraz diskutujme o vyšších frekvenciách. Stále predpokladáme 12% ročnú trhovú úrokovú sadzbu. Podľa dohovorov o názvoch dlhopisov to znamená 6% polročnú zloženú sadzbu. Teraz môžeme vyjadriť štvrťročnú zloženú sadzbu ako funkciu trhovej úrokovej sadzby.

Obrázok Julie Bang © Investopedia 2019

Vzhľadom na ročnú trhovú sadzbu ( r) je štvrťročná zložená sadzba ( r _q) daná:

$\begin{matrix} r_{q} = 4 \end{matrix} \ začiatok {zarovnané} & r_q = 4 \ doľava \\ \ koniec {zarovnané}$ rq = 4

Napríklad v našom prípade, keď je ročná trhová sadzba 12%, je štvrťročná zložená sadzba 11, 825%:

$\begin{matrix} r_{q} = 4 ≅ 11, 825 % \end{matrix} \ začiatok {zarovnané} & r_q = 4 \ doľava \ kong 11, 825 \% \\ \ end {zarovnané}$ rq = 4≅11.825%

Obrázok Julie Bang © Investopedia 2019

Podobná logika platí pre mesačné zloženie. Mesačná zložená sadzba ( rm ) sa tu uvádza ako funkcia ročnej trhovej úrokovej sadzby ( r):

Denná zložená sadzba ( d) ako funkcia trhovej úrokovej sadzby ( r) je daná:

$\begin{matrix} r_{d} & = 360 \\ = 360 \\ ≅ 11, 66 % \end{matrix} \ begin {align} r_d & = 360 \ left \\ & = 360 \ left \\ & \ cong 11.66 \% \\ \ end {align}$ rd = 360 = 360≅11.66%

Ako funguje kontinuálne miešanie

Obrázok Julie Bang © Investopedia 2019

Ak zvýšime zloženú frekvenciu na jej hranicu, neustále sa zvyšujeme. Aj keď to nemusí byť praktické, kontinuálna zložená úroková sadzba ponúka úžasne výhodné vlastnosti. Ukazuje sa, že nepretržitá zložená úroková sadzba je daná:

$\begin{matrix} r_{C o n T ja n u o u s} = \ln (1 + r) \end{matrix} \ začiatok {zarovnané} & r_ {kontinuálne} = \ ln (1 + r) \ \ end {zarovnané}$ rcontinuous = ln (1 + r)

Ln () je prirodzený protokol a v našom príklade je teda nepretržitá zložená rýchlosť:

$\begin{matrix} r_{C o n T ja n u o u s} = \ln (1 + 0, 12) = \ln (1, 12) ≅ 11, 33 % \end{matrix} \ začiatok {zarovnané} & r_ {kontinuálne} = \ ln (1 + 0, 12) = \ ln (1, 12) kong 11, 33 \% \\ \ end {zarovnané}$ rcontinuous = ln (1 + 0, 12) = ln (1, 12)% ≅11.33

Dostaneme sa na rovnaké miesto tak, že vezmeme prirodzený log tohto pomeru: konečnú hodnotu vydelenú počiatočnou hodnotou.

$\begin{matrix} r_{C o n T ja n u o u s} = \ln (\frac{{hodnota}_{Koniec}}{{hodnota}_{štart}}) = \ln (\frac{112}{100}) ≅ 11, 33 % \end{matrix} \ begin {zarovnané} & r_ {kontinuálne} = \ ln \ left ( frac { text {Value} _ \ text {End}} { text {Value} _ \ text {Start}} right) = \ ln \ doľava ( frac {112} {100} right) cong 11, 33 \% \\ \ end {zarovnaný}$ rcontinuous = ln (ValueStart ValueEnd) = ln (100112) ≅11.33%

Posledne menovaný je bežný pri výpočte priebežne zloženého výnosu zo zásoby. Napríklad, ak zásoby vyskočia z 10 dolárov na jeden deň na 11 dolárov na nasledujúci deň, kontinuálny zložený denný výnos je daný:

$\begin{matrix} r_{C o n T ja n u o u s} = \ln (\frac{{hodnota}_{Koniec}}{{hodnota}_{štart}}) = \ln (\frac{$ 11}{$ 10}) ≅ 9, 53 % \end{matrix} \ begin {zarovnané} & r_ {kontinuálne} = \ ln \ left ( frac { text {Value} _ \ text {End}} { text {Value} _ \ text {Start}} right) = \ ln \ doľava ( frac { $ 11} { $ 10} right) cong 9, 53 \% \\ \ end {zarovnaný}$ rcontinuous = ln (ValueStart ValueEnd) = ln (10 $ $ 11) ≅9.53%

Čo je také veľké na nepretržite zloženej rýchlosti (alebo návrate), ktorú označíme r _c ? Najprv je ľahké mierku posunúť dopredu. Vzhľadom na istinu (P) je naše konečné bohatstvo za (n) rokov dané:

$\begin{matrix} w = P e^{r_{C} n} \end{matrix} \ začiatok {zarovnané} & w = Pe ^ {r_c n} \ \ end {zarovnané}$ w = n Perc

Všimnite si, že e je exponenciálna funkcia. Napríklad, ak začneme so 100 $ a nepretržite sa zvyšujeme 8% počas troch rokov, konečné bohatstvo je dané:

$\begin{matrix} w = $ 100 e^{(0, 08) (3)} = $ 127, 12 \end{matrix} \ začiatok {zarovnané} & w = \ $ 100e ^ {(0, 08) (3)} = \ 127, 12 $ \\ \ end {zarovnané}$ w = $ 100e (0, 08), (3) = $ 127, 12

Diskontovanie na súčasnú hodnotu (PV) je iba zložené opačne , takže súčasná hodnota budúcej hodnoty (F) sa nepretržite zložená rýchlosťou ( rc) je daná:

$\begin{matrix} PV z F prijaté v (n) rokoch = \frac{F}{e^{r_{C} n}} = F e^{- r_{C} n} \end{matrix} \ začiatok {zarovnané} a \ text {PV z F prijaté za (n) rokov} = \ frac {F} {e ^ {r_c n}} = Fe ^ {-r_c n} \ \ end {zarovnané}$ PV z F prijatého v (n) rokoch = erc nF = Fe − rc n

Napríklad, ak za tri roky dostanete 100 dolárov za 6% nepretržitú sadzbu, jej súčasná hodnota je daná:

$\begin{matrix} PV = F e^{- r_{C} n} = ($ 100) e^{- (0, 06) (3)} = $ 100 e^{- 0, 18} ≅ $ 83, 53 \end{matrix} \ begin {zarovnané} & \ text {PV} = Fe ^ {-r_c n} = ( $ 100) e ^ {- (0, 06) (3)} = \ $ 100 e ^ {-0, 18} cong \ 83, 53 $ \\ \ end {vyrovnané}$ PV = Fe-rc n = ($ 100) e- (0, 06), (3) = $ 100e-0.18≅ $ 83, 53

Zmena mierky na viac období

Výhodnou vlastnosťou nepretržite zložených výnosov je to, že sa škálovali v priebehu viacerých období. Ak návratnosť za prvé obdobie je 4% a návratnosť za druhé obdobie je 3%, potom návratnosť za dve obdobia je 7%. Zoberme si, že začneme rok 100 USD, čo na konci prvého roka narastie na 120 dolárov, na konci druhého roku 150 dolárov. Nepretržité zložené výnosy sú 18, 23% a 22, 31%.

$\begin{matrix} \ln (\frac{120}{100}) ≅ 18, 23 % \end{matrix} \ begin {zarovnané} & \ ln \ left ( frac {120} {100} right) cong 18.23 \% \\ \ end {zarovnané}$ ln (100120) ≅18.23%

$\begin{matrix} \ln (\frac{150}{120}) ≅ 22, 31 % \end{matrix} \ begin {zarovnané} & \ ln \ left ( frac {150} {120} right) cong 22, 31 \% \\ \ end {zarovnané}$ ln (120150) ≅22.31%

Ak ich jednoducho spočítame, získame 40, 55%. Toto je návrat v dvoch obdobiach:

$\begin{matrix} \ln (\frac{150}{100}) ≅ 40, 55 % \end{matrix} \ begin {zarovnané} & \ ln \ left ( frac {150} {100} right) cong 40, 55 \% \\ \ end {zarovnané}$ ln (100150) ≅40.55%

Z technického hľadiska je nepretržitý návrat časovo konzistentný. Časová konzistentnosť je technická požiadavka na rizikovú hodnotu (VAR). To znamená, že ak je jednorázový návrat normálne distribuovanou náhodnou premennou, chceme normálne distribuovať aj viacperiodové náhodné premenné. Okrem toho je viacnásobne kontinuálny zložený výnos normálne distribuovaný (na rozdiel od povedzme jednoduchého percentuálneho výnosu).

Spodný riadok

Ročné úrokové sadzby môžeme preformulovať na polročné, štvrťročné, mesačné alebo denné úrokové sadzby (alebo návratnosť). Najčastejším zložením je nepretržité zloženie, ktoré vyžaduje, aby sme používali prírodný log a exponenciálnu funkciu, ktorá sa bežne používa vo financiách kvôli svojim žiaducim vlastnostiam - ľahko sa škáľuje v niekoľkých obdobiach a je časovo konzistentná.

Obsah:

Polročné miery návratnosti

Štvrťročné, mesačné a denné sadzby návratnosti

Ako funguje kontinuálne miešanie

Zmena mierky na viac období

Spodný riadok

Voľba editora