Možnosti oceňovania môžu byť zložité. Zoberme si nasledujúci scenár: V januári 2015 sa akcie IBM obchodovali za 155 dolárov a v budúcom roku ste očakávali, že sa zvýšia. Máte v úmysle kúpiť kúpnu opciu na akciách IBM s realizačnou cenou ATM 155 USD, pričom v porovnaní s nákupom akcií s vysokou kúpnou cenou očakávate, že budete mať úžitok z vysokých percentuálnych výnosov na základe malých nákladov na opcie (prémia za opcie).
Aká by mala byť reálna hodnota tejto volacej opcie na IBM?
Dnes je k dispozícii niekoľko rôznych pripravených metód na oceňovanie možností - vrátane modelu Black-Scholes a modelu binomického stromu - ktoré môžu poskytnúť rýchle odpovede. Aké sú však základné faktory a hnacie koncepcie na dosiahnutie takýchto oceňovacích modelov? Dá sa niečo podobné pripraviť na základe konceptu týchto modelov?
V tejto časti sa zaoberáme stavebnými blokmi, základnými koncepciami a faktormi, ktoré sa môžu použiť ako rámec na zostavenie modelu oceňovania majetku, ako sú opcie, poskytujúc porovnanie vedľa seba s pôvodom Black-Scholesov (BS)) Model.
Svet pred čiernymi Scholesmi
Pred Black-Scholesom sa vo veľkej miere dodržiaval model stanovovania cien kapitálových aktív založený na rovnováhe (CAPM). Výnosy a riziká boli navzájom vyvážené na základe preferencie investora, tj očakávalo sa, že vysoko rizikový investor bude kompenzovaný (potenciálnym) vyšším výnosom v podobnom pomere.
BS model má svoje korene v CAPM. Podľa Fishera Blacka: „Model cenotvorby investičného majetku som použil v každom okamihu v živote opčného listu, pre každú možnú cenu akcií a hodnotu opčných listov.“ CAPM bohužiaľ nedokázal splniť požiadavku stanovenia cien opčných listov.
Black-Scholes zostáva prvým modelom založeným na koncepcii arbitráže, čím sa mení paradigma od modelov založených na rizikách (napríklad CAPM). Tento nový vývoj modelu BS nahradil koncept návratnosti akcií CAPM uznaním skutočnosti, že dokonale zaistená pozícia bude bezriziková. Tým sa odstránili variácie rizika a návratnosti a ustanovil sa koncept arbitráže, pri ktorom sa oceňovanie vykonáva na základe predpokladov koncepcie neutrálneho voči riziku - zaistená (bezriziková) pozícia by mala viesť k bezrizikovej miere návratnosti.
Rozvoj čiernych Scholesov
Začnime stanovením problému, jeho vyčíslením a vytvorením rámca pre jeho riešenie. Pokračujeme v našom príklade oceňovania opcie na volanie prostredníctvom bankomatu na IBM s realizačnou cenou 155 dolárov s uplynutím jedného roka.
Na základe základnej definície volacej opcie, pokiaľ cena akcií nedosiahne úroveň realizačnej ceny, návratnosť zostáva nulová. Po tejto úrovni sa návratnosť lineárne zvyšuje (tj zvýšenie podkladového podkladu o jeden dolár poskytne výplatu vo výške jedného dolára z call opcie).
Za predpokladu, že sa kupujúci a predávajúci dohodnú na reálnom ocenení (vrátane nulovej ceny), bude teoretická reálna cena pre túto výzvu na kúpu:
- Cena opcie na volanie = 0 $, ak je podkladová <štrajk (červený graf) Cena opcie na volanie = (podkladová - štrajk), ak je pod položkou> = štrajk (modrý graf)
To predstavuje vnútornú hodnotu opcie a vyzerá perfektne z hľadiska kupujúceho opcie na kúpu. V červenom regióne majú kupujúci aj predávajúci reálne ocenenie (nulová cena pre predávajúceho, nulová návratnosť pre kupujúceho). Výzva na ocenenie sa však začína v modrej oblasti, pretože kupujúci má výhodu kladného výnosu, zatiaľ čo predávajúci utrpí stratu (za predpokladu, že podkladová cena prevyšuje realizačnú cenu). Tu má kupujúci výhodu oproti predávajúcemu s nulovou cenou. Ceny musia byť nenulové, aby odškodnili predajcu za riziko, ktoré podstupuje.
V prvom prípade (červený graf) teoreticky platí, že predávajúci dostane nulovú cenu a pre kupujúceho je nulový potenciál návratnosti (spravodlivý voči obom). V druhom prípade (modrý graf) musí predajca zaplatiť rozdiel medzi podkladovým a štrajkom. Riziko predávajúceho trvá po celý rok. Napríklad podkladová cena akcií sa môže pohybovať veľmi vysoko (povedzme na 200 dolárov za štyri mesiace) a predajca je povinný zaplatiť kupujúcemu rozdiel 45 dolárov.
Takto sa scvrkáva na:
- Prekročí cena podkladovej ceny realizačnú cenu? Ak áno, ako vysoká môže podkladová cena ísť (pretože to určí výnos pre kupujúceho)?
Znamená to veľké riziko, ktoré predávajúci predstavuje, čo vedie k otázke - prečo by niekto takýto hovor predal, ak za riziko, ktoré podstupuje, nedostane nič?
Naším cieľom je dospieť k jednotnej cene, ktorú by mal predajca účtovať kupujúcemu, čo mu môže kompenzovať celkové riziko, ktoré preberá za rok - v oblasti nulovej platby (červená) aj v oblasti lineárnej platby (modrá), Cena by mala byť spravodlivá a prijateľná pre kupujúceho aj predávajúceho. Ak nie, potom ten, kto je v nevýhode, pokiaľ ide o platenie alebo prijímanie nespravodlivej ceny, sa nebude zúčastňovať na trhu, a tým bude brániť účelu obchodnej činnosti. Cieľom modelu Black-Scholes je stanoviť túto spravodlivú cenu zvážením konštantnej cenovej variácie akcie, časovej hodnoty peňazí, realizačnej ceny opcie a času do skončenia jej platnosti. Podobne ako v prípade modelu BS sa pozrime, ako môžeme pristúpiť k hodnoteniu tohto príkladu pomocou našich vlastných metód.
Ako vyhodnotiť vnútornú hodnotu v modrej oblasti?
K dispozícii je niekoľko metód na predpovedanie očakávaného pohybu cien v budúcnosti v danom časovom rámci:
- Je možné analyzovať podobné pohyby cien v rovnakom období ako v nedávnej minulosti. Historická záverečná cena spoločnosti IBM naznačuje, že v uplynulom jednom roku (2. január 2014 až 31. december 2014) cena klesla na 185, 44 USD zo 185, 53 USD, čo predstavuje pokles o 13, 5%. Môžeme uzavrieť cenový posun o -13, 5% pre IBM? Ďalšia podrobná kontrola naznačuje, že sa dotkla ročného maxima 199, 21 USD (10. apríla 2014) a ročného minima 150, 5 USD (16. decembra 2014). Na základe týchto údajov v počiatočný deň 2. januára 2014 a záverečná cena 185, 53 USD sa percentuálna zmena pohybuje od + 7, 37% do -18, 88%. V súčasnosti vyzerá variačný rozsah oveľa širšie v porovnaní s predtým vypočítaným poklesom o 13, 5%.
Možno vykonať podobnú analýzu a pozorovania historických údajov. Aby sme mohli pokračovať vo vývoji cenového modelu, predpokladajme túto jednoduchú metodiku na odhad budúcich cenových odchýlok.
Predpokladajme, že IBM každý rok stúpne o 10% (na základe historických údajov za posledných 20 rokov). Základné štatistiky naznačujú, že pravdepodobnosť zmeny cien akcií IBM pohybujúcej sa okolo + 10% bude oveľa vyššia ako pravdepodobnosť rastu cien IBM o 20% alebo klesajúcich 30%, za predpokladu, že sa historické vzorce opakujú. Zozbieraním podobných historických dátových bodov s hodnotami pravdepodobnosti možno celkový očakávaný výnos z ceny akcií IBM v ročnom časovom rámci vypočítať ako vážený priemer pravdepodobností a súvisiacich výnosov. Predpokladajme napríklad, že historické údaje o cenách IBM naznačujú nasledujúce pohyby:
- (-10%) v 25% prípadoch, 10% v 35%, + 15% v 20%, + 20% v 10% časoch, + 25% v 5% časoch a (-15%) v 5% časoch.
Vážený priemer (alebo očakávaná hodnota) preto vychádza z:
(-10% * 25% + 10% * 35% + 15% * 20% + 20% * 10% + 25% * 5% - 15% * 5%) / 100% = 6, 5%
To znamená, že v priemere sa očakáva, že cena akcií IBM sa vráti + 6, 5% za jeden rok za každý dolár. Ak niekto kúpi akcie IBM s jednoročným horizontom a nákupnou cenou 155 dolárov, dá sa očakávať čistý výnos 155 * 6, 5% = 10 075 dolárov.
Ide však o návratnosť zásob. Potrebujeme hľadať podobné očakávané výnosy pre možnosť hovoru.
Na základe nulovej návratnosti hovoru pod realizačnou cenou (existujúce 155 USD - ATM volanie) všetky negatívne pohyby vygenerujú nulové návratnosti, zatiaľ čo všetky kladné pohyby nad realizačnou cenou vygenerujú ekvivalentnú návratnosť. Očakávaný výnos z opcie na volanie bude teda:
(-0% * 25% + 10% * 35% + 15% * 20% + 20% * 10% + 25% * 5% - 0 % * 5%) / 100% = 9, 75%
To znamená, že za každých 100 dolárov investovaných do nákupu tejto možnosti sa dá očakávať 9, 75 dolárov (na základe vyššie uvedených predpokladov).
To sa však stále obmedzuje na spravodlivé ocenenie skutočnej hodnoty opcie a nezachytáva správne riziko, ktoré predajca opcie znáša v súvislosti s vysokými výkyvmi, ktoré sa môžu vyskytnúť v medziobdobí (v prípade vyššie uvedených vnútroročných vysokých a nízkych hodnôt). cenách). Aká cena môže byť dohodnutá okrem skutočnej hodnoty medzi kupujúcim a predávajúcim tak, aby bol predávajúci spravodlivo kompenzovaný za riziko, ktoré preberá za jednoročný časový rámec?
Tieto výkyvy sa môžu veľmi líšiť a predajca môže mať vlastnú interpretáciu toho, koľko chce za to kompenzovať. Model Black-Scholes predpokladá možnosti európskeho typu, tj žiadne cvičenie pred uplynutím platnosti. Zostáva teda neovplyvnený výkyvmi stredných cien a jeho ocenenie sa zakladá na konečných obchodných dňoch.
V obchodovaní v reálnych dňoch hrá táto volatilita dôležitú úlohu pri určovaní cien opcií. Modrá funkcia výplaty, ktorú bežne vidíme, je v skutočnosti výplata v deň uplynutia platnosti. Realisticky je cena opcie (ružový graf) vždy vyššia ako návratnosť (modrý graf), čo naznačuje cenu, ktorú predávajúci berie na kompenzáciu svojich schopností riskovať. Z tohto dôvodu je cena opcie známa aj ako opcia „prémia“ - nevyhnutne označujúca rizikovú prémiu.
Toto sa môže zahrnúť do nášho modelu oceňovania v závislosti od toho, do akej miery sa očakáva volatilita v cene akcií a koľko očakávanej hodnoty by priniesla.
Model Black-Scholes to robí efektívne (samozrejme v rámci svojich vlastných predpokladov) takto:
C = S x N (d1) -X x e-RTN (d2)
Model BS predpokladá logické abnormálne rozdelenie pohybov cien akcií, čo opodstatňuje použitie N (d1) a N (d2).
- V prvej časti označuje S aktuálnu cenu akcie. N (d1) označuje pravdepodobnosť súčasného cenového pohybu zásob.
Ak táto voľba ide o peniaze, ktoré kupujúcemu umožnia uplatniť túto možnosť, získa jednu akciu podkladovej akcie IBM. Ak ju obchodník uplatní dnes, potom S * N (d1) predstavuje súčasnú očakávanú hodnotu opcie.
V druhej časti X označuje realizačnú cenu.
- N (d2) predstavuje pravdepodobnosť, že cena akcií je nad realizačnou cenou. Takže X * N (d2) predstavuje očakávanú hodnotu ceny akcií, ktorá zostane nad realizačnou cenou.
Pretože model Black-Scholes predpokladá možnosti európskeho štýlu, v ktorých je cvičenie možné iba na konci, očakávaná hodnota predstavovaná vyššie X * N (d2) by sa mala diskontovať na časovú hodnotu peňazí. Posledná časť sa teda znásobí exponenciálnym termínom zvýšeným na úrokovú mieru v danom časovom období.
Čistý rozdiel týchto dvoch termínov označuje cenu ceny opcie k dnešnému dňu (pričom druhé obdobie je diskontované)
V našom rámci môžu byť takéto cenové pohyby presnejšie zahrnuté niekoľkými spôsobmi:
- Ďalšie spresnenie výpočtov očakávaných výnosov rozšírením rozsahu do jemnejších intervalov o vnútrodenný / vnútroročný pohyb cien. Zahrnutie údajov o súčasnom trhu, pretože odzrkadľuje aktuálnu aktivitu na trhu (podobné implikovanej volatilite). Očakávané výnosy k dátumu skončenia platnosti, ktoré môžu byť odpočítané späť do dnešného dňa na reálne ocenenie a ďalej znížené zo súčasnej hodnoty
Vidíme teda, že neexistujú žiadne obmedzenia na predpoklady, metodiky a prispôsobenie, ktoré sa majú vybrať pre kvantitatívnu analýzu. V závislosti od aktíva, s ktorým sa má obchodovať, alebo investície, ktorá sa má zvážiť, sa môže pracovať na vlastne vyvinutom modeli. Je dôležité poznamenať, že volatilita pohybov cien rôznych tried aktív sa veľmi líši - akcie majú sklon volatility, forex sa mračil volatilitou - a používatelia by mali do svojich modelov začleniť príslušné modely volatility. Predpoklady a nevýhody sú neoddeliteľnou súčasťou každého modelu a kvalifikovaná aplikácia modelov v obchodných scenároch v reálnom svete môže priniesť lepšie výsledky.
Spodný riadok
Po vstupe komplexných aktív na trhy alebo dokonca jednoduchých vanilkových aktív do zložitých foriem obchodovania sa pre oceňovanie stáva kvantitatívne modelovanie a analýza povinné. Bohužiaľ, žiadny matematický model neprichádza bez súboru nevýhod a predpokladov. Najlepším prístupom je minimalizovať predpoklady a byť si vedomý implicitných nedostatkov, ktoré môžu pomôcť pri vytyčovaní línií o použití a použiteľnosti modelov.
![Ako zostaviť oceňovacie modely ako čierna Ako zostaviť oceňovacie modely ako čierna](https://img.icotokenfund.com/img/options-trading-strategy-education/111/how-build-valuation-models-like-black-scholes.jpg)